泛函分析-无限维的线性代数（上）¶
Note
2023.10.18
接下来两天都有期中考，明早要考心理学，后天下午要考泛函，但是很精神根本不想睡觉，那就趁现在大概写写吧， 等于是本科泛函分析前半部分的简要感性的总结，所以很可能包含错误，就希望大家多加包涵了(x
学习了半学期的泛函分析 (MATH4063)，个人感觉这门课像是线性代数+数学分析+拓扑，实分析里的\(L^p\), \(l^p\)空间算是提供了一些例子，本质更像是把"线性代数"从有限维推广到无限维，无限维有几个简单的例子，如序列，函数，多项式等。在学习的过程中我感受到“无限维”与“有限维”有本质上的区别（就算非常大的有限维，和无限维也不是一个概念），如证明Hahn-Banach定理（泛函分析的基石之一），在延拓时需要用到Zorn's lemma说明延拓是极大的，以及闭单位球S在强拓扑是非紧的，即使我们修改拓扑（放松紧的条件），它在弱拓扑下依然是非紧的；以及在泛函分析里函数f和参数x的地位是一样的，所以能用\(\langle f, x \rangle\)甚至\(\langle x, f \rangle\)这种记号来表示，函数\(f\)也能作为一个元素去研究，比如放在函数空间里研究它们的性质，也能研究它们的度量。对特殊的函数（算子）也能研究它们的各种性质，如闭算子，算子的谱等等（这些在泛函后半部分应该才讲到）。
泛函有四大基石，以上提到的Hahn-Banach定理频繁出现在泛函各种定理的证明当中，一致有界原理体现"线性"的强大之处，能从pointwise bounded推到uniform bounded，而这定理又能推出开映射定理和闭图像定理，开映射定理等同于是能把开集映射到开集（等于把"连续"imply的东西反过来），闭图像定理把线性算子的连续性和图像的闭的性质联系了起来（应该在后面算子的部分会起到比较多的作用）。
讲完这几个定理后，就开始讲弱拓扑这个章节，个人觉得这章节最抽象，主要是讲如何修改拓扑使得它更"粗糙"，产生更多紧集从而有更多更好的性质，在\(E\), \(E^*\), \(E^{**}\)赋予的各种拓扑上推各种开，闭，紧性质确实挺mind-blowing也挺难懂的……证明也用到不少拓扑，让在数分里只学过一点点集拓扑的我花了不少时间补，弱拓扑里的邻域基里也挺有趣的，听老师说类似于度量空间里的开球。
在学的过程中我也体会到“线性”的强大之处，比如在“线性”下连续和有界等价，以及非常多证明都需要依赖线性来完成证明，比如开映射定理里就是要不断构造\(\{ z_i \}\)使得它满足一些性质，这就需要线性，以及某些定理里要证明一些term要等于0，就只需要说明一个vector \(v\)能任意伸缩，使得值可以任意大或者任意小（如果非0），会使得某些不等式不成立，这样的话就只能等于0，很难想象非线性泛函分析会是什么样子（这估计会是PhD课内容了吧）。
其实听了那么多我依然觉得这些抽象理论好像没有应用，不过老师说在后面会介绍一点PDE和泛函在PDE上的应用，希望会挺有趣的，上礼拜胡继善老师代课（说实话讲的很一般），讲了些Hilbert空间（期中考不考），但这部分应该挺有用的，应该在应用数学里有广泛应用。研究上，泛函应该也有广泛的应用，据我所知，在统计上泛函也有应用（参考Mathematical Foundations of Infinite-dimensional statistical models，但我现在看不懂就是了）。